중앙 한계 정리-개요, 역사 및 예

중앙 한계 정리 (CLT)는 무작위 변수의 표본 평균 분포가 표본 크기가 충분히 큰 경우 거의 정규 분포 또는 정규 분포를 가정한다는 통계 개념입니다. 간단히 말해서, 평균 평균의 샘플링 분포는 수학 및 통계에서 필수적인 개념이라고 정리합니다. 일반적으로 평균은 원래 모집단 분포의 모양에 관계없이 표본 크기가 증가함에 따라 정규 분포에 접근하는 모음에서 평균 또는 가장 일반적인 값을 나타냅니다.

정규 분포에 대한 수렴을 보여주는 중앙 한계 정리 (CLT) 다이어그램

사용자가 샘플 수를 30, 40, 50 등으로 늘리면 샘플 평균의 그래프가 정규 분포로 이동합니다. 중앙 극한 정리를 유지하려면 표본 크기가 30 이상이어야합니다.

정리의 가장 중요한 구성 요소 중 하나는 표본의 평균이 전체 모집단의 평균이된다는 것입니다. 모집단의 여러 표본에 대한 평균을 계산하고 더하여 평균을 구하면 결과는 모집단 평균의 추정치가됩니다.

표준 편차를 사용할 때도 마찬가지입니다. 표준 편차 통계적 관점에서 볼 때 데이터 세트의 표준 편차는 포함 된 관측치 값 간의 편차 크기를 측정 한 것입니다. 모집단에있는 모든 표본의 표준 편차를 계산하고 더하여 평균을 구하면 결과는 모집단 전체의 표준 편차가됩니다.

Central Limit Theorem은 어떻게 작동합니까?

중심 한계 정리는 확률 분포의 기초를 형성합니다. 반복 표본 추출 유형 II 오류를받을 때 모집단 추정이 어떻게 작동하는지 쉽게 이해할 수 있습니다. 통계적 가설 검정에서 유형 II 오류는 가설 검정이 거짓 인 귀무 가설을 기각하지 못하는 상황입니다. 다른. 그래프에 표시 할 때 정리는 반복 된 모집단 표본을 통해 형성된 분포의 모양을 보여줍니다.

표본 크기가 커질수록 반복 표본의 평균 분포는 정규화되고 정규 분포와 유사한 경향이 있습니다. 결과는 분포의 원래 모양에 관계없이 동일하게 유지됩니다. 아래 그림에서 설명 할 수 있습니다.

Central Limit Theorem (CLT)-발생 방법

위의 그림에서 우리는 분포의 원래 모양이 균일하다는 사실에도 불구하고 n (표본 크기)의 값이 증가할수록 정규 분포를 향하는 경향이 있음을 추론 할 수 있습니다.

표본 평균이 취할 모양을 보여주는 것 외에도 중앙 극한 정리는 분포의 평균 및 분산에 대한 개요를 제공합니다. 분포의 표본 평균은 표본을 가져온 실제 모집단 평균입니다.

반면에 표본 분포의 분산은 모집단의 분산을 n 으로 나눈 값입니다 . 따라서 분포의 표본 크기가 클수록 표본 평균의 분산이 작아집니다.

중앙 한계 정리의 예

한 투자자가 100,000 개의 주식으로 구성된 ABC 주식 시장 지수의 수익률을 추정하는 데 관심이 있습니다. 지수의 규모가 크기 때문에 Dow Jones Industrial Average (DJIA) 일반적으로 "The Dow Jones"또는 간단히 "The Dow"라고도하는 Dow Jones Industrial Average (DJIA)는 가장 인기 있고 널리 알려진 주식 시장 지수를 인식하면 투자자는 각 주식을 독립적으로 분석 할 수 없으며 대신 무작위 샘플링을 사용하여 지수의 전체 수익률을 추정합니다.

투자자는 주식의 무작위 샘플을 선택하며 각 샘플은 최소 30 개의 주식으로 구성됩니다. 샘플은 랜덤이어야하며 이전에 선택한 샘플은 편향을 피하기 위해 후속 샘플에서 대체되어야합니다.

첫 번째 샘플의 평균 수익률이 7.5 %이면 다음 샘플의 평균 수익률은 7.8 % 일 수 있습니다. 무작위 샘플링의 특성으로 인해 각 샘플은 다른 결과를 생성합니다. 선택한 각 표본으로 표본 크기의 크기를 늘리면 표본 평균이 자체 분포를 형성하기 시작합니다.

표본 평균의 분포는 n 값이 증가함에 따라 정규 분포로 이동합니다. 표본 지수에있는 주식의 평균 수익률은 전체 지수 10 만주의 수익률을 추정하고 평균 수익률은 정규 분포된다.

중앙 한계 정리의 역사

중앙 극한 정리의 초기 버전은 프랑스 태생의 수학자 인 Abraham De Moivre가 만들었습니다. 1733 년에 발표 된 기사에서 De Moivre는 동전을 여러 번 던진 결과 헤드 수를 찾기 위해 정규 분포를 사용했습니다. 이 개념은 당시에는 인기가 없었고 금방 잊혀졌습니다.

그러나 1812 년에이 개념은 또 다른 유명한 프랑스 수학자 Pierre-Simon Laplace에 의해 재 도입되었습니다. Laplace는 그의 작업 "Théorie Analytique des Probabilités"에서 정규 분포 개념을 다시 도입하여 정규 분포로 이항 분포를 근사하려고했습니다.

수학자는 독립 확률 변수의 평균이 숫자가 증가 할 때 정규 분포를 따르는 경향이 있음을 발견했습니다. 당시 중앙 극한 정리에 대한 라플라스의 연구 결과는 다른 이론가와 학자의 관심을 끌었습니다.

1901 년 후반에 중앙 극한 정리는 러시아 수학자 Aleksandr Lyapunov에 의해 확장되었습니다. Lyapunov는 개념을 일반적인 용어로 정의하고 개념이 수학적으로 어떻게 작동하는지 증명하기 위해 한 걸음 앞서갔습니다. 그가 정리를 제공하기 위해 사용한 특성 함수는 현대 확률 이론에서 채택되었습니다.

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